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开学第一课之闲聊微积分

来源:   日期:2019-03-05 08:17:30
导语:  
李晓慧 晓慧高中数学微课堂


开学第一课之闲聊微积分

开学了,高二的小朋友们开始学习微积分了。之前一定听说过微积分的不少传说。终于要揭开面纱了,然鹅,看到课本,依然是怀疑人生的样子啊

课本依然没有让我们失望啊,延续了一贯的极简极简风格。把我们十分高大上的现代数学的基石,里程碑。删减的七零八落就差裸奔了


华丽丽的分割线


好吧,那就辛苦我来给他丰富丰富吧,微积分是微分和积分的统称,是。。。现在先不说了吧(说了现在也听不懂)

但是呢,为了理解好书上导数的定义,我们要先衔接三个问题

 一微积分的核心概念之极限 

说到极限啊,还是我们的老祖宗最早萌的芽。早在公元前4世纪春秋战国时期《庄子 天下篇》中就有记载:

         “一尺之锤,日取其半,万世不竭”

啥意思呢,就是说,有个一尺长的木棒子,我每天取剩下的一半,万世都取不完(这就厉害了)然而虽然取不完,剩下的长度却是一天天的变小以至于无限小以至于趋向于零。这个就是我们极限思想的萌芽。


那么我们就来感受一下一些常见的极限吧

(此处应该有视频出现)


有了对极限的这种直观形象的认识(这么说纯粹是因为高中学习的是极简版,没有要求学习严格的极限概念,无耐啊)我们就可以研究接下来的衔接二和三了


二莱布尼兹的几何偏好

G.W.莱布尼兹1646年生于德国,微积分的思想最初体现在1675年的手稿中,1673-1676年之间得到徽积分的研究的主要结果。莱布尼兹研究微积分以几何问题为背景,他认识到求曲线的切线依赖于纵坐标的差值,横坐标的差值,当这些差值变得无限小时候的比值,求面积依赖于无限薄矩形面积之和,求和与求差可逆,1675年,他断定一个事实,作为求和的过程的积分是微分的逆(即牛顿-莱布尼兹定理),1677年绘出函数的和差积商微分公式,1680年给出弧微分和旋转体体积公式。莱布尼兹发明了许多至今仍在用的符号,如dx,dy[dx,∫等等,他的工作大胆且富有想象力

(荧光绿字的地方,想来也是看不懂的,可略过。。。。)

关于莱布尼兹研究出的函数的和,差,积,商,乘方,开方的微分公式以及复合函数的链式微分法则在课本中学到导数的运算的时候我们就看到了,同时要求能记住并且应用哦


关于莱布尼兹几何偏好之求曲线的切线,我举一个栗子说明

(此处必须有视频出现)



三牛顿的物理偏好

牛顿对微积分问题的研究始于1664年,1665年11月发明“正流数术”(微分法),次年5月建立了“反流数术”(积分学).1666年10月,牛顿将前两年研究成果整理成一篇论文《流数简论》,此论文是历史上第一篇系统的微积分文献.
《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景.以速度形式引进了“流数”(即微商)概念.牛顿在《简论》中提出微积分的基本问题,其中一个问题是:
。。。。。此处省略一万字。

我就说一点我们能听懂的比如说物理上求变速运动的物体的瞬时速度

(此处应该必须有视频出现)


那么最后三个衔接问题说完,我们理解了极限,理解了切线的斜率的求法和变速运动的物体的瞬时速度的求法之后,导数的概念也就呼之欲出捂都捂不住了。


最后说点严肃的

微积分是现代数学的基础,是数学发展史上的转折点,它不仅推动了数学自身的发展,对推动人类文明的发展更有其举足轻重的地位.微积分由于是研究变化规律的方法,因此只要与变化、运动有关的研究都要与微积分发生联系,都需要运用微积分的基本原理和方法.从这个意义上说,微积分的创立对人类社会的进步和人类物质文明的发展都可发挥极大的推动。当然最主要的是它是高考的重点难点。我们必修1学的函数必修4学的三角函数所有函数的思想方法在现在选修2-1导数里面即将来个收尾。好吧,那就开始你们的学习吧。。。


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